Как доказать теорему?

Для доказательства теоремы, утверждающей, что если \(a\) не кратно \(b\) и \(c\) кратно \(b\), то \(a + c\) не кратно \(b\), мы воспользуемся понятием делимости и некоторыми свойствами чисел.

### Шаг 1: Определим делимость

Сначала напомним, что число \(x\) кратно \(y\), если существует такое целое число \(k\), что \(x = k \cdot y\). Запишем это формально:

- \(a\) не кратно \(b\) означает, что нет такого целого \(m\), при котором \(a = m \cdot b\).
- \(c\) кратно \(b\) означает, что существует целое \(n\), для которого \(c = n \cdot b\).

### Шаг 2: Запишем данные условия

Согласно условиям теоремы, мы можем записать:

1. \(a \neq m \cdot b\) для любого целого \(m\).
2. \(c = n \cdot b\) для некоторого целого \(n\).

### Шаг 3: Подставим выражение для \(c\)

Теперь подставим значение \(c\) в выражение \(a + c\):

\[
a + c = a + n \cdot b
\]

### Шаг 4: Исследуем выражение \(a + n \cdot b\)

Теперь нам нужно рассмотреть, может ли сумма \(a + n \cdot b\) быть кратной \(b\). Для этого мы можем записать:

\[
a + n \cdot b = (m' \cdot b) + n \cdot b
\]

где \(m'\) — это такое целое число, чтобы \(a\) можно было выразить в виде \(m' \cdot b + r\), где \(0 < r < b\) (так как \(a\) не кратно \(b\)). 

### Шаг 5: Обратите внимание на остаток

Так как \(a\) не кратно \(b\), мы можем записать:

\[
a = k \cdot b + r \quad (где \ 0 < r < b)
\]

Теперь подставим это в выражение для \(a + c\):

\[
a + c = (k \cdot b + r) + n \cdot b = (k + n) \cdot b + r
\]

### Шаг 6: Заключение о кратности

Теперь посмотрите на выражение \((k + n) \cdot b + r\). Мы видим, что:

- Первая часть \((k + n) \cdot b\) кратно \(b\).
- Остаток \(r\) (который больше 0 и меньше \(b\)) не даёт возможность сумме \(a + c\) быть кратной \(b\), поскольку она имеет ненулевой остаток при делении на \(b\).

Таким образом, так как сумма \(a + c\) оставляет остаток \(r\) при делении на \(b\) (где \(0 < r < b\)), это значит, что \(a + c\) не кратно \(b\).

### Итог

Таким образом, мы доказали, что если \(a\) не кратно \(b\) и \(c\) кратно \(b\), то сумма \(a + c\) также не будет кратной \(b\). 

Понимание этой теоремы может помочь в дальнейших исследованиях свойств чисел и делимости. Например, это может расширить знания о функционировании модульной арифметики и помочь в решении более сложных задач, связанных с делимостью и остатками.