На координатной плоскости векторы a и b. Как найти косинус угла между ними?

Чтобы найти косинус угла между двумя векторами на координатной плоскости, давайте разберёмся с этим процессом поэтапно. Я представлю это в виде логической последовательности с пояснениями, чтобы облегчить восприятие.

### 1. Определение векторов

Сначала нам нужно определить векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \). На координатной плоскости каждый вектор можно представить в виде координат:

\[
\mathbf{a} = (a_1, a_2)
\]
\[
\mathbf{b} = (b_1, b_2)
\]

Где \( a_1, a_2 \) и \( b_1, b_2 \) — это компоненты векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) соответственно.

### 2. Формула для косинуса угла между векторами

Косинус угла \( \theta \) между векторами можно найти с помощью формулы:

\[
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}
\]

Здесь:
- \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — это скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).
- \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — это длины (модули) векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).

### 3. Вычисление скалярного произведения

Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) вычисляется по формуле:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
\]

То есть, мы складываем произведения соответствующих компонент векторов.

### 4. Вычисление длины векторов

Длина (модуль) вектора \( \mathbf{a} \) вычисляется по формуле:

\[
|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]

Аналогично, длина вектора \( \mathbf{b} \):

\[
|\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2}
\]

### 5. Подставляем значения в формулу

Теперь, подставив полученные значения в формулу для косинуса угла, мы получаем:

\[
\cos(\theta) = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2}}
\]

### 6. Пример

Чтобы проиллюстрировать этот процесс, давайте рассмотрим пример. Пусть:

\[
\mathbf{a} = (3, 4), \quad \mathbf{b} = (1, 2)
\]

1. Сначала находим скалярное произведение:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 3 + 8 = 11
\]

2. Далее, находим длины векторов:

\[
|\mathbf{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
|\mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
\]

3. Подставляем в формулу:

\[
\cos(\theta) = \frac{11}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{11}{5\sqrt{5}}
\]

### 7. Получение угла \( \theta \)

Чтобы найти угол \( \theta \), можно использовать арккосинус:

\[
\theta = \arccos\left(\frac{11}{5\sqrt{5}}\right)
\]

### Заключение

Таким образом, мы подробно рассмотрели, как найти косинус угла между двумя векторами на координатной плоскости, используя геометрические и алгебраические принципы. Эта методика является универсальной и может быть применена в различных задачах, связанных с векторной алгеброй и аналитической геометрией.