Как найти вероятность того, что качественное изделие изготовил 3-й мастер?

Для решения задачи о вероятности того, что качественное изделие изготовил третий мастер, мы воспользуемся теорией условной вероятности и формулой Байеса. Давайте по шагам разберем процесс.

### 1. Определение входных данных

В задаче упоминается, что в мастерской работают три мастера с разными показателями производительности, а также с разными вероятностями изготовления качественного изделия:
  
- **Производительность труда мастеров**: 
  - Мастер 1: 5
  - Мастер 2: 6
  - Мастер 3: 7
  
  Общая производительность:
  \[
  5 + 6 + 7 = 18
  \]
  
- **Вероятности изготовления качественного изделия**:
  - \( P(Q|M_1) = 0.95 \)
  - \( P(Q|M_2) = 0.80 \)
  - \( P(Q|M_3) = 0.90 \)

### 2. Вычисление априорных вероятностей

Априорные вероятности того, что изделие изготовил каждый из мастеров, можно вычислить, основываясь на их производительности:
  
- \( P(M_1) = \frac{5}{18} \)
- \( P(M_2) = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \)
- \( P(M_3) = \frac{7}{18} \)

### 3. Вычисление полной вероятности качественного изделия

Для получения полной вероятности изготовления качественного изделия (обозначим её \( P(Q) \)), мы используем правило полной вероятности:
  
\[
P(Q) = P(Q|M_1) \cdot P(M_1) + P(Q|M_2) \cdot P(M_2) + P(Q|M_3) \cdot P(M_3)
\]
  
Подставим известные значения:
\[
P(Q) = 0.95 \cdot \frac{5}{18} + 0.80 \cdot \frac{6}{18} + 0.90 \cdot \frac{7}{18}
\]

Теперь посчитаем каждую часть:
- \( 0.95 \cdot \frac{5}{18} = \frac{4.75}{18} \)
- \( 0.80 \cdot \frac{6}{18} = \frac{4.8}{18} \)
- \( 0.90 \cdot \frac{7}{18} = \frac{6.3}{18} \)

Теперь найдем общую вероятность:
\[
P(Q) = \frac{4.75 + 4.8 + 6.3}{18} = \frac{15.85}{18} \approx 0.8806
\]

### 4. Применение формулы Байеса

Теперь можем найти искомую вероятность того, что изделие изготовил третий мастер, при условии, что оно оказалось качественным. По формуле Байеса:
  
\[
P(M_3|Q) = \frac{P(Q|M_3) \cdot P(M_3)}{P(Q)}
\]
  
Подставим известные значения:
\[
P(M_3|Q) = \frac{0.90 \cdot \frac{7}{18}}{0.8806}
\]
  
Сначала найдем числитель:
\[
0.90 \cdot \frac{7}{18} = \frac{6.3}{18}
\]

Теперь продолжаем:
\[
P(M_3|Q) = \frac{\frac{6.3}{18}}{0.8806}
\]

Теперь, вычисляя:
\[
P(M_3|Q) \approx \frac{6.3/18}{0.8806} \approx \frac{0.35}{0.8806} \approx 0.397
\]

### 5. Заключение

Таким образом, вероятность того, что изделие изготовил третий мастер, при условии, что оно оказалось качественным, составляет приблизительно **0.397** или **39.7%**.

### 6. Практическое значение и дополнительные мысли

Это условие может быть полезно для анализа качества изделий в производственном процессе. Понимание, какая доля качественной продукции поступает от каждого мастера, позволяет управлять процессами и улучшать их эффективность. Такие данные могут быть использованы для обучения работников, перераспределения задач в зависимости от производительности и качества.

Эти расчеты также иллюстрируют мощь теоремы Байеса, применимой в самых разных областях, от экономики до медицины. Интересно, что в ситуациях с множественными источниками информации, условная вероятность помогает принимать более обоснованные решения.