Даны векторы a(1;1) и b(0;7). Как найти длину вектора 8a + b?

Для нахождения длины вектора \( 8\mathbf{a} + \mathbf{b} \), сначала нужно определить, что представляют собой векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), а затем последовательно выполнить несколько шагов. Давайте разберем эту задачу поэтапно.

1. **Определим векторы**:  
   Дано:
   \[
   \mathbf{a} = (1, 1)
   \]
   \[
   \mathbf{b} = (0, 7)
   \]

   Вектор \( \mathbf{a} \) имеет компоненты \( x_1 = 1 \) и \( y_1 = 1 \).
   Вектор \( \mathbf{b} \) имеет компоненты \( x_2 = 0 \) и \( y_2 = 7 \).

2. **Найдем вектор \( 8\mathbf{a} \)**:  
   Для этого перемножим вектор \( \mathbf{a} \) на 8:
   \[
   8\mathbf{a} = 8 \cdot (1, 1) = (8 \cdot 1, 8 \cdot 1) = (8, 8)
   \]

3. **Сложим векторы**:  
   Теперь найдем сумму векторов \( 8\mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \):
   \[
   8\mathbf{a} + \mathbf{b} = (8, 8) + (0, 7)
   \]
   Для сложения векторов складываем их соответствующие компоненты:
   \[
   (8 + 0, 8 + 7) = (8, 15)
   \]

4. **Найдем длину вектора \( 8\mathbf{a} + \mathbf{b} \)**:  
   Формула для нахождения длины (нормы) вектора \( \mathbf{v} = (x, y) \) выглядит следующим образом:
   \[
   |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}
   \]
   В нашем случае:
   \[
   \mathbf{v} = (8, 15)
   \]
   Подставляем значения в формулу:
   \[
   |8\mathbf{a} + \mathbf{b}| = |(8, 15)| = \sqrt{8^2 + 15^2}
   \]
   Вычисляем каждую часть:
   \[
   8^2 = 64
   \]
   \[
   15^2 = 225
   \]
   Сложим их:
   \[
   64 + 225 = 289
   \]
   Теперь вычислим квадратный корень:
   \[
   \sqrt{289} = 17
   \]

5. **Ответ**:  
   Таким образом, длина вектора \( 8\mathbf{a} + \mathbf{b} \) составляет 17.

### Дополнительные соображения:

- **Геометрическая интерпретация**: Вектор \( \mathbf{a} \) указывает в направлении диагонали координатной плоскости, а вектор \( \mathbf{b} \) направлен вертикально вверх. Умножение вектора \( \mathbf{a} \) на 8 изменяет его длину до 8 раз, сохраняя направление. После этого, добавление вектора \( \mathbf{b} \) изменяет конечную точку результирующего вектора, придавая ему новую, более длинную форму.

- **Применление**: Знание о том, как складывать и масштабировать векторы, является основополагающим в различных областях, включая физику, инженерию и компьютерную графику. Процесс складывания векторов позволяет моделировать перемещения, силы и другие векторные операции.

- **Обобщение**: Если бы вместо сжатия одного из векторов вы решили бы изменить коэффициенты или сложить другие векторы, процесс оставался бы аналогичным. Это базовые операции с векторами, которые стоят в основе линейной алгебры и многомерной геометрии.

Желаю успехов в дальнейших математических исследованиях!