Как решить: В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ все ребра равны 3?

Для решения задачи о нахождении угла между прямыми \(AA_1\) и \(BC_1\) в правильной треугольной призме \(ABC A_1 B_1 C_1\) с длиной всех рёбер, равной 3, следуем следующему пошаговому плану.

### Шаг 1: Определим координаты точек

Для лучшего понимания геометрической модели начнем с определения системы координат. Рассмотрим призму, где основаниями служат равносторонние треугольники. Давайте зададим координаты:

- Пусть точка \(A\) будет в начале координат: \(A(0, 0, 0)\).
- Точка \(B\) расположена на оси \(X\): \(B(3, 0, 0)\).
- Точка \(C\) будет находиться на плоскости, образованной треугольником \(ABC\). Поскольку треугольник равносторонний, вершинный угол между \(A\) и \(B\) равен \(60^\circ\). Считаем координаты точки \(C\) следующим образом:
  - Зафиксируем центр треугольника на оси \(O(1.5, 0, 0)\).
  - Высота равностороннего треугольника равна \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\), следовательно, координаты \(C\) будут \(C\left(1.5, \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right)\).

Теперь мы можем записать координаты вершин нижнего основания призмы:
- \(A(0, 0, 0)\)
- \(B(3, 0, 0)\)
- \(C\left(1.5, \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right)\)

Верхняя грань будет параллельна нижней:
- \(A_1(0, 0, 3)\)
- \(B_1(3, 0, 3)\)
- \(C_1\left(1.5, \frac{3\sqrt{3}}{2}, 3\right)\)

### Шаг 2: Запишем векторы

Чтобы найти угол между прямыми \(AA_1\) и \(BC_1\), представим их векторы:

- Вектор \(AA_1\) можно записать как:
\[
\vec{AA_1} = A_1 - A = (0, 0, 3) - (0, 0, 0) = (0, 0, 3)
\]

- Вектор \(BC_1\):
\[
\vec{BC_1} = C_1 - B = \left(1.5, \frac{3\sqrt{3}}{2}, 3\right) - (3, 0, 0) = \left(-1.5, \frac{3\sqrt{3}}{2}, 3\right)
\]

### Шаг 3: Найдем угол между векторами

Угол \(\phi\) между двумя векторами \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) определяется через скалярное произведение:
\[
\cos(\phi) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}
\]

Подставим векторы:
- \(\vec{u} = \vec{AA_1} = (0, 0, 3)\)
- \(\vec{v} = \vec{BC_1} = \left(-1.5, \frac{3\sqrt{3}}{2}, 3\right)\)

#### Вычисление скалярного произведения:
\[
\vec{AA_1} \cdot \vec{BC_1} = 0 \cdot (-1.5) + 0 \cdot \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right) + 3 \cdot 3 = 9
\]

#### Вычислим длины векторов:
\[
|\vec{AA_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 3^2} = 3
\]
\[
|\vec{BC_1}| = \sqrt{(-1.5)^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 3^2} = \sqrt{2.25 + \frac{27}{4} + 9}
= \sqrt{2.25 + 6.75 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
\]

#### Подставляем в формулу:
\[
\cos(\phi) = \frac{9}{3 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \rightarrow \phi = 45^\circ
\]

### Ответ
Угол между прямыми \(AA_1\) и \(BC_1\) равен \(45^\circ\). 

Таким образом, мы последовательно определили координаты точек, записали векторы, вычислили угол между ними, что соответствует требованиям задачи.