Задача. Через какое наибольшее время после начала работы отключить прибор?

Для решения задачи о времени отключения нагревательного элемента прибора, следуем четкому алгоритму действий. Нам дана зависимость температуры от времени, и наша цель — определить, когда температура превысит допустимый предел (1870 K) и отключить прибор до этого момента. Рассмотрим шаги по порядку:

### Шаг 1: задание уравнения температуры

Из условия задачи у нас есть функция температуры:

\[ T(t) = T_0 + bt + at^2, \]

где:
- \( T_0 = 1600 \, K \) (начальная температура),
- \( a = -5 \, K/\text{мин}^2 \) (коэффициент, отвечающий за изменение температуры с квадратом времени),
- \( b = 105 \, K/\text{мин} \) (линейный коэффициент изменения температуры).

### Шаг 2: Подстановка значений

Подставим данные в уравнение:

\[ T(t) = 1600 + 105t - 5t^2. \]

### Шаг 3: Условие отключения

Нам известно, что прибор необходимо отключить, когда температура превышает 1870 K. Итак, мы ищем такое значение t, при котором:

\[ T(t) \leq 1870. \]

### Шаг 4: Решение неравенства

Запишем неравенство:

\[ 1600 + 105t - 5t^2 \leq 1870. \]

Упрощая его, получаем:

\[ -5t^2 + 105t + 1600 - 1870 \leq 0, \]

или:

\[ -5t^2 + 105t - 270 \leq 0. \]

### Шаг 5: Деление на -1

Так как неравенство содержит отрицательный коэффициент при \( t^2 \), разделим его на -1 (не забываем поменять знак):

\[ 5t^2 - 105t + 270 \geq 0. \]

### Шаг 6: Находим корни квадратного уравнения

Теперь вычислим корни соответствующего квадратного уравнения:

\[ 5t^2 - 105t + 270 = 0. \]

Для нахождения корней воспользуемся формулой корней квадратного уравнения \( t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):

Здесь \( a = 5, b = -105, c = 270 \).

Сначала найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-105)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 270 = 11025 - 5400 = 5625. \]

Поскольку дискриминант положительный, у уравнения два различных корня:

\[ t_{1,2} = \frac{105 \pm \sqrt{5625}}{2 \cdot 5}. \]

Вычислим корни:

\[ \sqrt{5625} = 75, \]

и подставим значения:

\[ t_1 = \frac{105 + 75}{10} = \frac{180}{10} = 18, \]
\[ t_2 = \frac{105 - 75}{10} = \frac{30}{10} = 3. \]

### Шаг 7: Интервал значений

Решение \( 5t^2 - 105t + 270 \geq 0 \) имеет вид:

\[ t \leq 3 \quad \text{или} \quad t \geq 18. \]

Так как прибор должен работать до повышения температуры до 1870 K, а затем отключаться, то рабочее время ограничено сверху.

### Шаг 8: Итог

Наибольшее время, которое можно обращаться с прибором, не превышая критическую температуру 1870 K, составляет:

\[ t = 18 \text{ минут}. \]

Таким образом, прибор следует отключить не позднее 18 минут после его включения.