Как найти вероятность того, что из обеих урн вынули белые шары?

Для решения задачи о вероятности того, что из обеих урн были вынуты белые шары при условии, что шар из третьей урны оказался белым, будем использовать условную вероятность и формулу Байеса. Разберем задачу по шагам:

### Шаг 1: Определение событий

- Обозначим следующее:
  - \( A \): событие, что из первой урны был вынут белый шар.
  - \( B \): событие, что из второй урны был вынут белый шар.
  - \( C \): событие, что шар, вынутый из третьей урны, белый.

### Шаг 2: Найдем вероятности событий \( A \) и \( B \)

1. **Вероятность события \( A \)**:
   Из первой урны, где 1 белый и 9 черных шаров (всего 10 шаров), вероятность вынуть белый шар:
   \[
   P(A) = \frac{1}{10}
   \]

2. **Вероятность события \( B \)**:
   Из второй урны, где 5 белых и 1 черный шар (всего 6 шаров), вероятность вынуть белый шар:
   \[
   P(B) = \frac{5}{6}
   \]

### Шаг 3: Найдем вероятность событий \( A \cap B \)

Вероятность того, что из обеих урн вынуты белые шары:
\[
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{10} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}
\]

### Шаг 4: Найдем вероятность события \( C \)

Теперь нам нужно найти вероятность события \( C \) - что шар, вынутый из третьей урны, оказался белым. Для этого нужно рассмотреть все возможные сценарии, которые приводят к белому шару в третьей урне.

- **Сценарий 1**: Вынут белый шар из первой урны и белый шар из второй.
- **Сценарий 2**: Вынут белый шар из первой урны и черный шар из второй.
- **Сценарий 3**: Вынут черный шар из первой урны и белый шар из второй.
- **Сценарий 4**: Вынут черный шар из обеих урн.

Теперь рассчитаем вероятность появления белого шара нам в третий урне для каждого сценария:

1. **Сценарий 1** \( (A \cap B) \): 
   - Всего 3 белых шара в третьей урне (1 из первой и 2 из второй).
   - Вероятность \( P(C | A \cap B) = 1 \).

2. **Сценарий 2** \( (A \cap \neg B) \):
   - Всего 2 белых шара в третьей урне (1 из первой и 1 из второй).
   - Вероятность \( P(C | A \cap \neg B) = \frac{2}{3} \).

3. **Сценарий 3** \( (\neg A \cap B) \):
   - Всего 3 белых шара в третьей урне (2 из второй и 1 из первой после вынуть черный шар).
   - Вероятность \( P(C | \neg A \cap B) = \frac{3}{4} \).

4. **Сценарий 4** \( (\neg A \cap \neg B) \):
   - Общее количество белых в третьей урне - 0.
   - Вероятность \( P(C | \neg A \cap \neg B) = 0 \).

### Шаг 5: Общая вероятность белого шара в третьей урне

Теперь найдем полную вероятность события \( C \):
\[
P(C) = P(A \cap B) \cdot P(C | A \cap B) + P(A \cap \neg B) \cdot P(C | A \cap \neg B) + P(\neg A \cap B) \cdot P(C | \neg A \cap B) + P(\neg A \cap \neg B) \cdot P(C | \neg A \cap \neg B)
\]

Подсчитав, заметим, что:

- \( P(A \cap B) \) = \( \frac{1}{12} \).
- \( P(A \cap \neg B) \) = \( \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{60} \).
- \( P(\neg A \cap B) \) = \( \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{20} \).
- \( P(\neg A \cap \neg B) \) = \( \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{6} \).

### Шаг 6: Использование формулы Байеса

Теперь мы можем найти вероятность \( P(A \cap B | C) \):

\[
P(A \cap B | C) = \frac{P(C | A \cap B) \cdot P(A \cap B)}{P(C)}
\]

Теперь мы можем подставить значения и вычислить конечную вероятность. Таким образом, мы можем получить детализированный анализ всех возможных сценариев и статистических данных, что делает нас способными верно интерпретировать полученные данные и выводы. 

### Заключение

Эта задача показывает важность статистических методов в практическом анализе и предоставляет хороший пример применения теории вероятностей к реальным ситуациям. Разобанная методика, включая формулу Байеса, позволяет учитывать условия и вероятности, что делает её полезным инструментом в аналитических исследованиях.