Как решить: На доске несколько различных нат. чисел, произведение двух >40?

Рассмотрим задачу по порядку и подробнее. 

### Условия задачи:
На доске написаны несколько различных натуральных чисел. Произведение любых двух из этих чисел больше 40 и меньше 100. Нам необходимо выяснить:

а) Может ли на доске быть 5 чисел?  
б) Может ли на доске быть 6 чисел?  
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

### Анализ:

1. **Предположим, что на доске есть два числа \(a\) и \(b\)**.
   - Условие задачи гласит: \(40 < ab < 100\).
   - Первым делом определим возможные пары \( (a, b) \).

2. **Что касается произведения двух чисел**:
   - Если \(a\) и \(b\) — натуральные числа, то для получения произведения, попадающего в данный интервал, нужно определить нижнюю и верхнюю границы для \(a\) и \(b\).

3. **Найдем границы для возможных \(a\) и \(b\)**:
   - Если \(a = 6\), тогда \(b\) должен удовлетворять \( \frac{40}{6} < b < \frac{100}{6} \).
     - \( \frac{40}{6} \approx 6.67 \) (то есть \(b\) может быть 7, 8, 9, ...).
     - \( \frac{100}{6} \approx 16.67 \) (то есть \(b\) может быть до 16).
   - Те же операции можно проделать с другими значениями \(a\). Например, если \(a = 7\), то \(b\) удовлетворяет \( \frac{40}{7} < b < \frac{100}{7} \), и так далее.

4. **Расчёт возможных количеств чисел**:
   - Если чтобы выполнить условие, необходимо, чтобы каждое число взаимодействовало с другими, образуя произведения между собой.
   - Проверим возможные варианты для пяти чисел. Если положим, что числа равны между 7 и 16 (где оба условия производятся), тогда: 
     - Автоматически произведения \(7*8\), \(8*9\) и т.д., каждого соседнего числа будут попадать в диапазон. Но вопрос в том, не образует ли третья пара больше 100 или не падает ниже 40. 
   - При тестировании пяти уникальных целых чисел мы увидим, что это невозможно выполнить.

5. **Анализ для 6 чисел**:
   - Следуя аналогичной логике, также удастся определить, что добавление шестого уникального числа приведет к выходу за пределы интервала \( (40, 100) \) по аналогии; необходимо думать о взаимодействиях.
   - В итоге: **5 и 6 чисел — не допустимые варианты по условиям задачи**.

### Сумма чисел для ситуации с четырьмя числами:

1. **Определяем возможные числа**:
   - Наиболее подходящие четырёх чисел, чтобы их произведение оставалось в рамках \( (40, 100) \).
   - Начнем с \( 6, 7, 8, 9 \):
     - Проверяем: \(6*7=42\), \(6*8=48\), \(6*9=54\), \(7*8=56\), \(7*9=63\), \(8*9=72\) (все произведения в нужном диапазоне).
   - Суммируем: \(6 + 7 + 8 + 9 = 30\).

2. Можно проверить и другие комбинации:
   - Меняя, например, на \(8, 9, 10, 11\): \(8 + 9 + 10 + 11 = 38\).
   - Для \(7, 8, 11, 12\) (получим сумму 38, но, например, \(7*12=84\), а \(12*11\) выход точно выходит за 100).

### Итог:
- **Ответ на подзадачи:**
   - а) Не может быть 5 чисел.
   - б) Не может быть 6 чисел.
   - в) Наибольшая сумма, которую можно получить при избрании 4 чисел, составляет 30.

Таким образом, мы можем заключить, что выбор оптимальных четырех чисел, соблюдая все условия, даёт максимальную сумму и не нарушает ограничения.