Как разделить многочлен x⁴+3x³+4x²-5x-47 на x+3 по схеме Горнера?

Для того чтобы разделить многочлен \( P(x) = x^4 + 3x^3 + 4x^2 - 5x - 47 \) на многочлен первой степени \( x + 3 \) с помощью схемы Горнера, мы можем следовать следующему пошаговому процессу. Эта схема позволяет упростить процесс деления, значительно сокращая вычисления и упростив их.

### Шаг 1: Подготовка
Перед тем как начать деление по схеме Горнера, представим наш многочлен в виде \( P(x) \). Мы будем делить на \( x + 3 \), что соответствует корню \( x = -3 \) (прибавив знаки, мы преобразуем \( x + 3 = 0 \) в \( x = -3 \)).

### Шаг 2: Запись коэффициентов
Записываем коэффициенты многочлена:
- Для \( P(x) = x^4 + 3x^3 + 4x^2 - 5x - 47 \) коэффициенты следующие:
  - \( 1 \) (x^4)
  - \( 3 \) (x^3)
  - \( 4 \) (x^2)
  - \( -5 \) (x)
  - \( -47 \) (свободный член)

Таким образом, наши коэффициенты: \( [1, 3, 4, -5, -47] \).

### Шаг 3: Построение схемы Горнера
Теперь мы будем использовать схему Горнера для выполнения деления. Начинаем с записи корня \( -3 \) слева, а коэффициенты располагаем справа:

```
-3 |  1    3    4   -5  -47
   |___________
```

### Шаг 4: Процесс деления
1. **Сначала опускаем первый коэффициент** (1):
```
-3 |  1    3    4   -5  -47
   |_____________
      1
```
2. **Умножаем полученное число на -3 и записываем его под следующим коэффициентом**:
```
-3 |  1    3    4   -5  -47
   |      -3
   |_____________
      1    0
```
3. **Продолжаем, теперь умножаем 0 на -3 и добавляем к следующему коэффициенту**:
```
-3 |  1    3    4   -5  -47
   |      -3    0
   |_____________
      1    0    4
```
4. **Повторяем умножение и складывание**:
```
-3 |  1    3    4   -5  -47
   |      -3    0   -12
   |_____________
      1    0    4   -17
```
5. **Еще одно умножение и сложение**:
```
-3 |  1    3    4   -5  -47
   |      -3    0   -12   51
   |_____________
      1    0    4   -17    4
```

### Шаг 5: Результат
После всех шагов, мы получили последнюю строку: \( [1, 0, 4, -17] \) и остаток \( 4 \).

Таким образом, можем сделать вывод:
- Частное от деления многочлена \( P(x) \) на \( x + 3 \) будет \( x^3 + 0x^2 + 4x - 17 \), что можно записать как \( x^3 + 4x - 17 \).
- Остаток равен \( 4 \).

### Заключение
Окончательный ответ на поставленную задачу звучит следующим образом:

\[
P(x) = (x + 3)(x^3 + 4x - 17) + 4,
\]

где \( x^3 + 4x - 17 \) — это частное, а \( 4 \) — остаток.

Это эффективный метод, позволяющий выполнять деление многочленов, сохраняя простоту и удобство вычислений. Схема Горнера значительно облегчает работу с многочленами, делая её более интуитивной и быстрой.