Как решить: Николай Сергеевич написал на доске 15 различных натур. чисел?

Для начала рассмотрим условие задачи более внимательно и организуем информацию:

1. Николай Сергеевич написал на доске 15 различных натуральных чисел.
2. Среднее арифметическое восьми наименьших чисел равно 7.
3. Среднее арифметическое восьми наибольших чисел равно 20.

Пункт А: Может ли наименьшее из этих 15 чисел равняться 5?
Для ответа на этот вопрос, мы должны рассмотреть имеющиеся условия. Поскольку среднее арифметическое восьми наименьших чисел равно 7, а среднее арифметическое в данном случае равно сумме всех чисел, разделенной на их количество, можно предположить, что минимальное число должно быть меньше или равно 7. Следовательно, наименьшее из 15 чисел не может быть равно 5.

Пункт Б: Может ли среднее арифметическое всех 15 чисел равняться 13?
Исходя из имеющихся данных, можем рассмотреть две ситуации:
- Среднее арифметическое всех 15 чисел меньше 13. В этом случае, 8 наименьших чисел среднее арифметическое которых равно 7 и 8 наибольших чисел среднее арифметическое которых равно 20 не могут привести к среднему арифметическому 13.
- Среднее арифметическое всех 15 чисел больше 13. Так как в данной ситуации среднее арифметическое всех чисел выше 13, 8 наименьших и 8 наибольших чисел также не смогут привести к среднему арифметическому 13.
Следовательно, среднее арифметическое всех 15 чисел не может быть равным 13.

Пункт В: Найдите наибольшее значение m - k, где k – восьмое по величине число, m – среднее арифметическое всех чисел.
Для решения этой задачи, обозначим наименьшее число как a1, наибольшее число как a15, cреднее арифметическое всех чисел как m, а восьмое по величине число как k.
Так как среднее арифметическое восьми наименьших чисел равно 7, можно составить уравнение: (a1 + a2 + ... + a8) / 8 = 7.
Аналогично, для восьми наибольших чисел: (a8 + a9 + ... + a15) / 8 = 20.
Также имеем уравнение для среднего арифметического всех 15 чисел: (a1 + a2 + ... + a15) / 15 = m.
Из данных уравнений можно составить следующее уравнение: m = (a1 + a2 + ... + a15) / 15 = (a8 + a9 + ... + a15) / 8 = (a1 + a2 + ... + a8) / 8.
Учитывая, что m = (a1 + a2 + ... + a15) / 15 и m = (a1 + a2 + ... + a8) / 8, можем записать: (a1 + a2 + ... + a15) / 15 = (a1 + a2 + ... + a8) / 8.
Выразим k через m: k = (15m - (a9 + ... + a15)) / 7.
Также, выразим m - k через a8: m - k = a8 / 8.
Для нахождения наибольшего значения m - k, найдем наибольшее значение a8.
Рассмотрим случай, когда наименьшее число a1 равно 1, а сумма арифметической прогрессии от 1 до 15 равна 120. Тогда a8 = 8, значит, m - k = 1.
Таким образом, наибольшее значение m - k равно 1.

В итоге, мы ответили на все поставленные вопросы и решили задачу.