Периодически или переодически? Как правильно писать? Почему так?

Правильным написанием является "периодически". В данном случае мы имеем слово, образованное от основы "период". 

Ниже приведены основные причины, по которым "периодически" является правильным написанием:

1. Орфографические правила русского языка. Существует правило о постановке ударения в словах с приставкой "перио", которое гласит, что ударение ставится на основу слова. В данном случае основа слова - "период", поэтому ударение падает на нее. Если бы написание было "переодически", то ударение было бы поставлено на предлог "пере", что неверно с точки зрения правил.

2. Происхождение слова. Слово "периодически" образовано от прилагательного "периодический", которое, в свою очередь, произошло от существительного "период". Приставка "перио-" обозначает повторение через равные интервалы времени, который является смысловой основой данного слова.

3. Грамматическое соответствие. В русском языке существует принцип соответствия между формами слов разных типов. Так, если у нас есть существительное "период" и прилагательное "периодический", то логично, что от них будет происходить наречие "периодически". Следовательно, "переодически" будет являться нарушением данного принципа.

В итоге, правильное написание слова "периодически" обусловлено орфографическими правилами, происхождением слова и грамматическим соответствием между различными частями речи.