Как решить: На доске написано 75 различных целых чисел?

Для начала рассмотрим, какие числа могут быть записаны на доске, если каждое их них возвести либо в квадрат, либо в куб. Посмотрим на минимальные квадраты и кубы, которые вписываются в диапазон чисел от 1 до 75:

Квадраты:
1^2 = 1
2^2 = 4
3^2 = 9
4^2 = 16
5^2 = 25
6^2 = 36
7^2 = 49
8^2 = 64

Кубы:
1^3 = 1
2^3 = 8
3^3 = 27
4^3 = 64

Теперь мы можем составить список чисел, которые могут быть записаны на доске после возведения их в квадрат или в куб:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 36, 49, 64

Теперь посчитаем, сколько различных чисел мы можем получить из данного списка. Изначально у нас 10 чисел. Однако, есть некоторые числа, которые возводятся и в квадрат, и в куб. Таким образом, наш список можно упростить до:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27

Теперь мы имеем 7 различных чисел, которые могут быть записаны на доске после возведения их в квадрат или в куб. Следовательно, наименьшее количество различных чисел, которое могло оказаться на доске, равно 7.