Как найти уравнение, длину высоты, медины треугольника, если A(1(1)/(2);1)?

1. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(1(1)/(2);1) и B(1;1(2)/(3)). Для этого воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки: 

\[y - y_{1} = \dfrac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} (x - x_{1})\]

Подставим координаты точек A и B:

\[\begin{equation}
\begin{array}{l}
y - 1 = \dfrac{\dfrac{1}{3} - 1}{1 - \dfrac{3}{2}} (x - \dfrac{3}{2}) \\
y - 1 = \dfrac{-2/3}{-1/2}(x - 3/2) \\
y - 1 = \dfrac{4}{3}x - 2 \\
y = \dfrac{4}{3}x - 1
\end{array}
\end{equation}\]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки A и B, имеет вид y = (4/3)x - 1.

2. Длина высоты треугольника, опущенной из точки A на сторону СВ, равна расстоянию от точки A до прямой CB. Найдем эту расстояние:

Для этого определим уравнение прямой CB, проходящей через точки С(2;2) и B(1;1(2)/(3)):

\[\begin{equation}
\begin{array}{l}
y - 2 = \dfrac{\dfrac{1}{3} - 2}{1 - 2} (x - 2) \\
y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}
\end{array}
\end{equation}\]

Теперь найдем координаты точки пересечения прямой CB и прямой, проходящей через точки A и B. Для этого решим систему уравнений:

\[\begin{cases} 
y = \dfrac{4}{3}x - 1 \\ 
y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3} 
\end{cases}\]

Составив систему уравнений, найдем координаты точки пересечения:

\[\begin{equation}
\begin{array}{l}
\dfrac{4}{3}x - 1 = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3} \\
\dfrac{5}{3}x = \dfrac{10}{3} \\
x = 2
\end{array}
\end{equation}\]

Подставим полученное значение x обратно в уравнение прямой:

\[y = \dfrac{4}{3} \cdot 2 - 1 = \dfrac{8}{3} - 1 = \dfrac{5}{3}\]

Таким образом, координаты точки пересечения прямой CB и прямой, проходящей через точки A и B, равны (2; 5/3).

3. Теперь найдем расстояние от точки A до точки пересечения прямой CB и прямой, проходящей через точки A и B. Для этого воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}\]

Подставим координаты точек:

\[d = \sqrt{(2 - \dfrac{3}{2})^{2} + (\dfrac{5}{3} - 1)^{2}} = \sqrt{(\dfrac{1}{2})^{2} + (\dfrac{2}{3})^{2}} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{4}{9}} = \sqrt{\dfrac{9 + 16}{36}} = \sqrt{\dfrac{25}{36}} = \dfrac{5}{6}\]

Таким образом, длина высоты треугольника, опущенной из точки A на сторону СВ, равна 5/6.

4. Найдем уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины A. Медиана треугольника - это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Поскольку медиана делит сторону пополам, то ее точка пересечения с стороной CB будет являться серединой отрезка CB.

Найдем координаты середины отрезка CB:

\[x_{m} = \dfrac{x_{1} + x_{2}}{2} = \dfrac{1 + 2}{2} = \dfrac{3}{2}\]

\[y_{m} = \dfrac{y_{1} + y_{2}}{2} = \dfrac{1(2)/(3) + 2}{2} = \dfrac{4}{3}\]

Таким образом, координаты середины отрезка CB равны (3/2; 4/3).

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и середину отрезка CB. Для этого воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки:

\[\begin{equation}
\begin{array}{l}
y - 1 = \dfrac{4/3 - 1}{3/2 - 1(1)/(2)} (x - 1(1)/(2)) \\
y - 1 = \dfrac{1/3}{1/2} (x - 1(1)/(2)) \\
y - 1 = 2(x - 1(1)/(2)) \\
y - 1 = 2x - 3 \\
y = 2x - 2
\end{array}
\end{equation}\]

Таким образом, уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины A, имеет вид y = 2x - 2.

5. Наконец, найдем длину медианы треугольника, проведенной из вершины A. Расстояние от вершины треугольника до середины противоположной стороны равно половине длины этой стороны.

Длина стороны CB вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:

\[d_{CB} = \sqrt{(2 - 1)^2 + (2 - 1(2)/(3))^2} = \sqrt{1 + (\dfrac{3}{2})^2} = \sqrt{1 + \dfrac{9}{4}} = \sqrt{\dfrac{4 + 9}{4}} = \sqrt{\dfrac{13}{4}} = \dfrac{\sqrt{13}}{2}\]

Таким образом, длина медианы треугольника, проведенной из вершины A, равна половине длины стороны CB, то есть \(\dfrac{\sqrt{13}}{4}\).

В итоге, мы нашли уравнение медианы и высоты треугольника, проведенных из вершины A, а также их длины.