Как найти радиус вписанной окружности многоугольника ABCDEFGH (см. рис.)?

1. Сначала обратим внимание на то, что восьмиугольник ABCDEFGH является правильным, то есть все его стороны равны и все углы равны 45 градусов.

2. Так как многоугольник ABCDEFGH правильный, то его вписанная окружность будет касаться всех его сторон. 

3. Рассмотрим треугольник AOB, где точка O - центр вписанной окружности, а A и B - вершины восьмиугольника.

4. Поскольку восьмиугольник ABCDEFGH правильный, то угол AOB = 45 градусов, и радиус вписанной окружности BC равен OA = OB = OC = ... = OH.

5. Далее, воспользуемся формулой для скалярного произведения векторов: 
    AB  AO = |AB|  |AO|  cos(угол между AB и AO)

6. Так как AB - это сторона правильного восьмиугольника, то ее длина равна стороне восьмиугольника, а так как угол между стороной и радиусом вписанной окружности равен 45 градусов, то cos(45) = 1/√2.

7. Подставляя все значения в формулу скалярного произведения, получаем:
    |AB|  |AO|  1/√2 = 450√2

8. Так как сторона правильного восьмиугольника равна радиусу вписанной окружности, обозначим ее за R.
    R  R  1/√2 = 450√2
    R^2 = 450  2
    R = √900 = 30

9. Итак, радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника ABCDEFGH равен 30.