В ящике стола лежит 7 синих и 8 чёрных ручек. Какие верные утверждения?

1) Верное утверждение: Среди любых 7 ручек обязательно будет хотя бы одна чёрная. 

Объяснение:

- В ящике лежит 7 синих и 8 чёрных ручек, всего 15 ручек.
- Если взять любые 7 из них, мы не можем взять все синие, так как их всего 7 штук, следовательно, как минимум одна из вытащенных ручек будет чёрной.
- Это утверждение верно, так как в случае, если мы возьмем 7 синих ручек, либо 6 синих и 1 чёрную, либо 5 синих и 2 чёрные... но достигнуть ситуации, когда взятые все 7 ручек будут только синими, невозможно.

2) Неверное утверждение: Среди любых 9 ручек обязательно найдётся 3 чёрные ручки.

Объяснение:

- Опровергнем данное утверждение. Возьмём 8 синих и 1 чёрную ручку; таким образом, у нас 9 ручек, но только одна из них чёрная. Следовательно, в данном случае утверждение не соответствует действительности.

3) Неверное утверждение: Если достать 5 ручек, то все они могут оказаться одного цвета.

Объяснение:

- Данное утверждение неверно. Если взять 5 ручек, то по принципу Дирихле, если 5 ручек, то как минимум две из них будут одного цвета. Это объясняется тем, что у нас всего два вида ручек – синие и чёрные, и взяв 5 из них, хотя бы в двух из них будут одинакового цвета.

4) Верное утверждение: Среди любых 10 ручек обязательно найдётся 2 синих ручки.

Объяснение:

- Если у нас в ящике 7 синих и 8 чёрных ручек, то суммарно у нас 15 ручек. 
- Если мы возьмем 10 из них, то максимальное количество черных ручек, которое мы можем выбрать за один раз – 8, так как их всего 8 штук. Следовательно, оставшиеся 2 ручки будут синими.
- Это подтверждает, что среди любых 10 ручек обязательно найдутся 2 синих ручки.