Как найти уравнение высоты DH, опущенной на основание ABC (см)?

1. Для того чтобы найти уравнение высоты DH, опущенной на основание ABC, нужно использовать свойство перпендикулярности векторов. Высота DH будет перпендикулярна к плоскости, содержащей отрезок BC. Для начала найдем векторы, лежащие на отрезках BC и AD.

2. Найдем вектор BC:
   BC = C - B
      = (1, 4, -1) - (0, -6, -1)
      = (1, 4, -1) - (0, -6, -1)
      = (1, 10, 0)

3. Найдем вектор AD:
   AD = D - A
      = (-4, 1, -1) - (-1, 0, -4)
      = (-3, 1, 3)

4. Теперь найдем уравнение плоскости, содержащей отрезок BC. Для этого найдем векторное произведение векторов BC и BD.
   n = BC x BD

5. Вычислим векторное произведение:
   n = BC x AD
     = det(i, j, k; 1, 10, 0; -3, 1, 3)
     = i(103 - 01) - j(13 - 03) + k(11 - 10(-3))
     = 30i - 3j + 31k
     = 30i - 3j + 31k

6. Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через точку D и заданную вектором n:
   30(x+4) - 3(y-1) + 31(z+1) = 0
   30x + 120 - 3y +3 + 31z + 31 = 0
   30x - 3y + 31z + 154 = 0

7. Уравнение высоты DH будет иметь вид:
   30x - 3y + 31z + d = 0

8. Теперь найдем коэффициент d. Подставим координаты точки H(-4, -3, 0) в уравнение высоты:
   30(-4) - 3(-3) + 31(0) + d = 0
   -120 + 9 + d = 0
   d = 111

9. Таким образом, уравнение высоты DH, опущенной на основание ABC, будет:
   30x - 3y + 31z + 111 = 0

10. Для нахождения длины высоты DH можно использовать формулу расстояния от точки до плоскости. Подставим координаты точки D(-4, 1, -1) и уравнение плоскости в формулу:
   d = |30(-4) - 3(1) + 31(-1) + 111| / sqrt(30^2 + (-3)^2 + 31^2)
   d = |-170| / sqrt(900 + 9 + 961)
   d = 170 / sqrt(1870)
   d ≈ 12.79 (округляем до двух знаков)

Итак, уравнение высоты DH, опущенной на основание ABC, будет 30x - 3y + 31z + 111 = 0, а длина высоты составит примерно 12.79 см.