Как решить: Саша загадала четырёхзн. число, вычла сумму цифр, получила 151?

1. Предположим, что загаданное четырёхзначное число Саши можно записать в виде \(abcd\), где \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) - цифры числа.
2. Сумма цифр загаданного числа равна \(a + b + c + d\).
3. По условию, если из загаданного числа вычесть сумму его цифр, получится разность, которую обозначим как \(abcd - (a + b + c + d)\).
4. Эта разность равна числу 151: \(abcd - (a + b + c + d) = 151\).
5. Заметим, что если выразить разность \(abcd - (a + b + c + d)\) как \(1000a + 100b + 10c + d - (a + b + c + d)\), то можно упростить выражение.
6. Преобразуем это выражение: \(1000a + 100b + 10c + d - (a + b + c + d) = 1000(a-1) + 100(b-1) + 10(c-1) + (d-1)\).
7. Таким образом, разность \(abcd - (a + b + c + d)\) можно записать как \(999(a-1) + 90(b-1) + 9(c-1)\).
8. По условию, эта разность равна 151, следовательно, имеем уравнение: \(999(a-1) + 90(b-1) + 9(c-1) = 151\).
9. Разложим число 151 на множители: 151 = 3 * 7 * 7.
10. Так как 999 = 9 * 111, значит \(a-1\) должно быть равно 3 или 7, чтобы при умножении на 999 получить 151.
11. Подставим первую возможность: \(a-1 = 3\) => \(a = 4\).
12. Теперь выразим новое уравнение для \(b\), \(c\) и \(d\): \(90(b-1) + 9(c-1) = 151 - 999(a-1)\).
13. Подставляем \(a = 4\) в уравнение: \(151 - 999(4-1) = 181\).
14. Теперь разложим число 181 на множители: 181 = 13 * 13.
15. Аналогично предыдущему шагу, находим, что \(b-1\) равно 13 или 1.
16. Подставляем первую возможность: \(b-1 = 13\) => \(b = 14\). Но так как \(b\) - цифра, и она не может быть больше 9, это невозможный вариант.
17. Следовательно, \(b-1 = 1\) => \(b = 2\).
18. Теперь выразим новое уравнение для \(c\) и \(d\): \(9(c-1) = 181 - 90(2-1)\).
19. Решаем это уравнение: \(9(c-1) = 181 - 90\), следовательно \(9(c-1) = 91\).
20. В результате получаем, что \(c-1 = 10\) => \(c = 11\), но так как \(c\) - цифра, она также не может быть больше 9.
21. Значит, первая попытка для \(a\), \(b\), \(c\) оказалась неверной. Попробуем второй вариант, где \(a-1 = 7\) и продолжим по тому же принципу.
22. Таким образом, подставив \(a = 8\), \(b = 1\), \(c = 2\), найдем \(d\).
23. Резюмируя, Саша зачеркнула цифру 1.