Как найти величину ∠A в прямоугольном ΔАВС, если CD - высота, DB=6, BС=12?

1. Сначала обратим внимание, что прямоугольный треугольник ABC имеет прямой угол при вершине C.
2. По определению высоты прямоугольного треугольника, она проходит через вершину угла C и перпендикулярна гипотенузе (в данном случае стороне AB).
3. Обозначим угол A как x.
4. Используя теорему Пифагора, получаем:

AC^2 = AB^2 - BC^2
AC^2 = (AD + DC)^2 - BC^2
AC^2 = (6 + DC)^2 - 12^2
AC^2 = 36 + 12DC + DC^2 - 144
AC^2 = DC^2 + 12DC - 108

5. Используя теорему Пифагора для другого прямоугольного треугольника, получаем:

BC^2 = AB^2 - AC^2
144 = 6^2 - (DC^2 + 12DC - 108)
144 = 36 - DC^2 - 12DC + 108
0 = DC^2 + 12DC - 72

6. Решим полученное квадратное уравнение:

DC^2 + 12DC - 72 = 0
(DC + 18)(DC - 6) = 0
DC = -18, DC = 6

Учитывая, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что DC = 6.

7. Теперь находим угол A, используя теорему синусов:

sin(A) = CD / AC
sin(A) = 6 / AC

8. Также можем записать:

cos(A) = AD / AC

9. Дополнительно можем воспользоваться теоремой косинусов:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB  BC  cos(A)

10. Зная, что CD = 6 и DC = 6, можем обозначить AC как AC = x, и AD как AD = y. Тогда получаем систему уравнений:

x^2 = y^2 + 6^2
x^2 = (y + 6)^2 - 12^2

11. Решая систему уравнений, получаем x = 18, y = 12.

12. Подставляем полученные значения в формулы для нахождения sin(A) и cos(A):

sin(A) = 6 / 18 = 1/3
cos(A) = 12 / 18 = 2/3

13. Таким образом, угол A равен arcsin(1/3) ≈ 19.47 градусов.

Итак, мы нашли величину угла A в прямоугольном треугольнике ABC, где CD - высота, DB = 6, BC = 12.