В ΔABC ∠C=90°, CH - высота, AB=180, sinA=1/6. Чему равна длина отрезка АН?

1. Поскольку угол C равен 90°, треугольник ABC является прямоугольным.
2. Высота CH является катетом прямоугольного треугольника, в то время как отрезок AH является его гипотенузой.
3. Так как sinA равен 1/6, мы можем найти косинус угла A, используя тождество Пифагора: sin^2(A) + cos^2(A) = 1.
4. sinA = 1/6, поэтому sin^2(A) = 1/36.
5. Теперь мы можем найти косинус угла A: cos^2(A) = 1 - sin^2(A) = 1 - 1/36 = 35/36.
6. Так как угол A находится в первой четверти, его косинус положительный. Поэтому cosA = √(35/36) = √35/6.
7. Зная косинус угла A, мы можем найти отношение сторон AC и AB: AC/AB = cosA.
8. Подставляем известные значения: AC/180 = √35/6.
9. Теперь можем найти длину стороны AC: AC = 180  √35/6 = 30√35.
10. Так как AH является гипотенузой прямоугольного треугольника, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора: AH^2 = AC^2 + CH^2.
11. Подставляем известные значения: AH^2 = (30√35)^2 + CH^2.
12. Так как CH является катетом, равным расстоянию от вершины прямоугольного треугольника до его основания, а AH - гипотенуза, можно предположить, что CH = 180 - AC.
13. Подставляем CH = 180 - 30√35 в формулу: AH^2 = (30√35)^2 + (180 - 30√35)^2.
14. Раскрываем скобки и упрощаем выражение: AH^2 = 90035 + 9000 - 18030√35 + 90035.
15. AH^2 = 31500 + 9000 - 5400√35 + 31500.
16. AH^2 = 72000 - 5400√35.
17. Таким образом, длина отрезка AH равна корню квадратному из 72000 - 5400√35.

Итак, длина отрезка AH равна √(72000 - 5400√35).