Как найти уравнение плоскости, проходящей через точки P(4;-2;1), Q(2;4;-3)?

1. Для начала найдем направляющий вектор \( \overrightarrow{PQ} \), который равен разности координат векторов Q и P:
   \[ \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix}2-4\\4-(-2)\\-3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\6\\-4 \end{pmatrix} \]

2. Теперь найдем векторное уравнение плоскости, используя найденный направляющий вектор и точку P:
   \[ \begin{pmatrix}x-4\\y+2\\z-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-2\\6\\-4 \end{pmatrix} = 0 \]

   Развернем скалярное произведение и получим:
   \[ -2(x-4) + 6(y+2) - 4(z-1) = 0 \]
   Коэффициенты перед x, y, z образуют уравнение плоскости:
   \[ -2x + 6y - 4z + 12 + 12 - 4 = 0 \]
   \[ -2x + 6y - 4z + 20 = 0 \]

3. Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки P(4;-2;1) и Q(2;4;-3), можно записать в виде:
   \[ -2x + 6y - 4z + 20 = 0 \]

4. Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через начало координат (0;0;0) и имеющей тот же направляющий вектор \( \overrightarrow{PQ} \):
   Уравнение в этом случае выглядит следующим образом:
   \[ -2x + 6y - 4z = 0 \]

5. Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через начало координат (0;0;0) и имеющей направляющий вектор, равный вектору \( \overrightarrow{PQ} \), записывается как:
   \[ -2x + 6y - 4z = 0 \]

6. Таким образом, мы нашли уравнение плоскости, проходящей через точки P(4;-2;1), Q(2;4;-3) и начало координат (0;0;0).