ОГЭ математика. Чему равно расстояние между прямыми AB и CD (см)?

Для начала обозначим центры окружностей как O₁ и O₂, а точки касания с общей касательной AC и BD как M и N соответственно.

1. Построим радиусы окружностей, их касательные и точки касания:

- Радиус первой окружности равен 33, а второй - 99.
- Обозначим точки касания M и N. Так как AC и BD - общие касательные, то у них общая точка касания с окружностями.
- Проведем радиусы от центров окружностей до точек касания M и N. Они будут перпендикулярны к касательным и равны радиусам окружностей (33 и 99).

2. Выдвинем гипотезу о том, что точки A, B, C и D лежат на одной прямой.

- Предположим, что точки A, B, C и D не лежат на одной прямой. Тогда мы можем провести дуги окружностей, соединяющие точки M и N с центрами O₁ и O₂, и они пересекутся в точке X.
- Получается, что MX = NX, так как они равны радиусам. Также треугольники MO₁X и NO₂X будут равнобедренными, так как радиусы равны и углы при основаниях треугольников равны 90 градусов.
- Но в данном случае мы получили, что MO₁X = NO₂X, что противоречит равенству MX = NX, так как при равнобедренности треугольников основания равны, но этого быть не может. Значит, наша гипотеза неверна, и точки A, B, C и D лежат на одной прямой.

3. Найдем расстояние между прямыми AB и CD.

- Так как точки A, B, C и D лежат на одной прямой, то расстояние между прямыми AB и CD можно найти как расстояние между точками M и N.
- Рассмотрим треугольник O₁MO₂. Он равнобедренный, так как радиусы окружностей равны, а углы при основаниях треугольника равны 90 градусов. Поэтому MO₁ = MO₂. А по теореме Пифагора в треугольнике O₁MO₂ можно найти расстояние между точками M и N.

Таким образом, расстояние между прямыми AB и CD равно расстоянию между точками M и N, которое можно найти с помощью теоремы Пифагора в треугольнике O₁MO₂.