Как решить: В ящике стола лежит 6 синих и 8 чёрных ручек?

Для начала разберемся с количеством ручек в ящике: 6 синих и 8 черных. Всего в ящике 14 ручек.

Начнем с первого утверждения: "Если достать 4 ручки, то все они могут оказаться одного цвета". Для того чтобы все четыре ручки были одного цвета, нужно или вытащить четыре синие ручки (6 вариантов), или вытащить четыре черные ручки (8 вариантов). У нас есть обе эти возможности, следовательно, данное утверждение верно.

Перейдем ко второму утверждению: "Среди любых 6 ручек обязательно будет хотя бы одна черная". Рассмотрим случай, когда мы достаем только синие ручки из ящика. Мы можем вытащить 6 синих ручек, но по условию в ящике есть 8 черных ручек. Следовательно, в любой группе из 6 ручек обязательно будет хотя бы одна черная. Утверждение верно.

Теперь перейдем к третьему утверждению: "Среди любых 7 ручек обязательно найдется 2 синих ручки". Рассмотрим вариант, когда мы вытаскиваем 7 черных ручек. В этом случае действительно не будет 2 синих ручек. Утверждение неверно.

И, наконец, четвертое утверждение: "Среди любых 8 ручек обязательно найдется 2 черных ручки". Рассмотрим возможные варианты: вытащить 8 синих ручек или вытащить 1 черную и 7 синих ручек. Нет гарантии, что будут найдены 2 черные ручки. Утверждение неверно.

Итак, верными являются утверждения 1 и 2, а утверждения 3 и 4 неверны.