Как решить: Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию равен 10?

1. Вспомним свойства окружности, вписанной в прямоугольную трапецию:
- Радиус вписанной окружности перпендикулярен основаниям трапеции.
- Радиус вписанной окружности делит боковые стороны трапеции на две равные части.

2. Известно, что радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 10. Обозначим его как r = 10.

3. Так как радиус окружности делит боковые стороны трапеции на две равные части, то можно представить каждую боковую сторону трапеции в виде суммы двух отрезков, где один отрезок равен r = 10, а второй - отрезок, который нужно найти. Пусть это будет отрезок x.

4. Таким образом, мы получаем уравнение:
x + 10 = (b-a)/2,
где b - большее основание трапеции, a - меньшее основание трапеции.

5. Так как у нас прямоугольная трапеция, то можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения отрезка x:
a^2 + x^2 = r^2,
b^2 + x^2 = r^2.

6. Подставим r = 10 в оба уравнения:
a^2 + x^2 = 100,
b^2 + x^2 = 100.

7. Так как это прямоугольная трапеция, то a^2 + x^2 = b^2, поэтому можем сложить два последних уравнения:
2x^2 = 100.
Отсюда находим значение x:
x = 5√2.

8. Теперь можем подставить найденное значение x обратно в уравнение из пункта 4 и найти разность оснований трапеции:
5√2 + 10 = (b-a)/2,
15√2 = b - a.

9. Так как это прямоугольная трапеция, то можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения высоты h:
h^2 + (b-a)^2 = (b + a)^2.

10. Подставим 15√2 в уравнение:
h^2 + (15√2)^2 = (b + a)^2,
h^2 + 450 = (b + a)^2.

11. Так как это прямоугольная трапеция, то b + a = 2b, поэтому:
h^2 + 450 = (2b)^2,
h^2 + 450 = 4b^2.

12. Теперь подставим значение b - a = 15√2 из пункта 8 в уравнение:
15√2 = b - a,
15 = b - a/√2,
b = 15 + a/√2.

13. Подставляем найденное значение b обратно в уравнение из пункта 12:
h^2 + 450 = 4(15 + a/√2)^2,
h^2 + 450 = 4(225 + 30a/√2 + a^2/2),
h^2 + 450 = 900 + 120a/√2 + 2a^2.

14. Раскроем скобки и приведем подобные члены:
h^2 + 450 = 900 + 120a/√2 + 2a^2,
h^2 = 450 + 120a/√2 + 2a^2.

Таким образом, мы нашли высоту прямоугольной трапеции, вписанной в окружность радиусом 10.