Как решить: Николая Васильевича перегорела нагреват. спираль в паяльнике?

1) Для начала найдем сопротивление найденного куска проволоки. Для этого воспользуемся формулой для сопротивления проводника: R = ρ  L / S, где R - сопротивление проводника, ρ - удельное сопротивление материала проводника, L - длина проводника и S - площадь поперечного сечения проводника.
Подставляем известные значения: ρ = 1,1 Ом·мм2/м, L = 10 см = 0,1 м, S = 0,011 мм2.
R = 1,1  0,1 / 0,011 ≈ 10 Ом.
Ответ: сопротивление найденного куска проволоки составляет примерно 10 Ом.

2) Теперь рассмотрим ситуацию с температурным режимом проволоки. Мы знаем, что чтобы проволока нагрелась до 40 °C, должен пройти ток не менее 0,74 А. Если ток превысит 1,5 А, проволока перегорит.
Давайте определим силу тока, при которой проволока перегорит. Для этого воспользуемся законом Ома: U = I  R, где U - напряжение, I - сила тока, R - сопротивление проводника.
При максимальной силе тока (1,5 A) сопротивление будет: R = U / I = 9 / 1,5 = 6 Ом.
Теперь проверим, перегорит ли проволока при данной силе тока: 6 Ом > 10 Ом, значит проволока не перегорит.
Ответ: с использованием найденного куска проволоки паяльник можно починить.

3) Теперь рассмотрим вопрос о максимальной мощности паяльника. Мощность можно вычислить по формуле: P = I^2  R, где P - мощность, I - сила тока, R - сопротивление проводника.
Мы уже знаем, что сила тока не должна превышать 1,5 А, чтобы проволока не перегорела. Подставим это значение в формулу для мощности: P = 1,5^2  10 = 22,5 Вт.
Теперь найдем длину проволоки, при которой достигается максимальная мощность. Для этого воспользуемся формулой для сопротивления проводника: R = ρ  L / S.
Поскольку мощность пропорциональна квадрату силы тока, то максимальная мощность достигается при максимальной силе тока (1,5 А). 
Подставляем известные значения: R = 10 Ом, ρ = 1,1 Ом·мм2/м, S = 0,011 мм2.
Из формулы находим, что L = R  S / ρ = 10  0,011 / 1,1 ≈ 0,1 м = 10 см.
Ответ: для достижения максимальной мощности необходимо отрезать от проволоки кусок длиной 10 см.