Какое наим. количество школьников участвовало в турнире (всего 22 партии)?

Для решения этой задачи нам нужно определить, сколько пар можно сыграть между участниками турнира. У нас есть два условия: каждый школьник сыграл с каждым другим не более одной партии и каждый из них сыграл с приглашенным гроссмейстером не более одной партии.

Если у нас было бы всего школьников и никаких дополнительных партий с гроссмейстером, то известно, что общее количество партий для n человек равно \( \frac{n(n - 1)}{2} \). Для двух человек это одна партия, для трех - уже три и т.д.

Но у нас есть еще и партии с гроссмейстером. Допустим, всех школьников было бы \( k \) человек, и они сыграли бы все между собой. Тогда общее количество партий среди них было бы \( \frac{k(k - 1)}{2} \). Дополнительные партии с гроссмейстером добавляются один раз за каждого школьника, то есть просто k раз.

Таким образом, общее количество партий будет равно \( \frac{k(k-1)}{2} + k \).

Мы знаем, что общее количество партий равно 22. То есть у нас есть уравнение:

\[ \frac{k(k-1)}{2} + k = 22 \]

Решая это уравнение, мы можем найти, что наименьшее количество школьников, которые могли участвовать в этом турнире, равно 7. 

Таким образом, минимальное количество школьников, участвовавших в турнире, составляет 7 человек.