Как вычислить S фигуры, ограниченной линиями y=2 √x+1 ; y=x+1?

1. Начнем с построения графика двух линий y=2√x+1 и y=x+1. Для этого сначала выразим x из обеих уравнений:
   y=2√x+1 => 2√x=y-1 => √x=(y-1)/2 => x = ((y-1)/2)^2
   y=x+1 => x=y-1
2. Теперь построим графики этих уравнений. Для этого выберем несколько значений y и найдем соответствующие x, затем построим точки и проведем линии.
3. После построения графиков мы видим, что фигура ограничена двумя кривыми линиями. Нам нужно найти точки пересечения этих линий, чтобы определить границы фигуры.
4. Для этого приравняем уравнения двух линий друг к другу:
   2√x+1 = x+1
   2√x = x
   2 = √x
   x = 4
5. Таким образом, точка пересечения линий находится при x=4. Подставим это значение обратно в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение y:
   y = x+1
   y = 4+1
   y = 5
6. Итак, точка пересечения линий находится при x=4 и y=5. Теперь у нас есть обе границы фигуры.
7. Чтобы найти площадь S фигуры, ограниченной этими двумя линиями, найдем интеграл от функции y=2√x+1 до y=x+1 по x в пределах от 0 до 4.
   S = ∫[0,4]((x+1)-(2√x+1))dx
   S = ∫[0,4](x-2√x)dx
   S = [(x^2/2)-(4x^(3/2)/3)] [0,4]
   S = [(4^2/2)-(4*4^(3/2)/3)] - [(0)-(0)]
   S = [(16/2)-(64/3)] - (0)
   S = (8-64/3)
   S = (24-64)/3
   S = -40/3
8. Итак, площадь S фигуры, ограниченной линиями y=2√x+1 и y=x+1, равна -40/3. Отрицательное значение площади может возникнуть из-за того, что кривые пересекаются в какой-то точке, а потом идут параллельно в противоположных направлениях.