Как составить уравнение касательной к графику функции y= ³√x?

1. Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции y = ³√x (или y = x^(1/3)), нам необходимо сначала найти производную этой функции.

2. Производная функции y = x^(1/3) может быть найдена с помощью правила дифференцирования степенной функции. Для этого необходимо возвести степень x в экспоненту (1/3) и умножить на коэффициент при этой переменной, то есть 1/3. Таким образом, производная функции y = x^(1/3) будет равна y' = (1/3)  x^(-2/3) = 1/(3  ³√(x^2)).

3. Теперь нам нужно определить значение производной в точке x = x₀ = 0, чтобы найти угловой коэффициент касательной. Подставляем x₀ = 0 в найденную производную: y'(0) = 1/(3  ³√(0^2)) = 1/(3  0) = неопределено.

4. Так как производная в точке x = 0 равна неопределенности, функция y = x^(1/3) не дифференцируема в этой точке. Это обусловлено тем, что корень кубический из нуля равен нулю, что делает производную функции неопределенной в точке x = 0.

5. Для составления уравнения касательной к графику функции y = ³√x в точке x = 0, нужно иметь угловой коэффициент касательной. Поскольку производная в этой точке не определена, нельзя найти уравнение касательной в обычной форме y = kx + b. Вместо этого касательную можно описать как вертикальную прямую, параллельную оси y и проходящую через точку (0, 0).

6. Для нахождения уравнения нормали к графику функции y = ³√x в точке x = 0 также используем производную функции. Нормаль к касательной противоположна по угловому коэффициенту, поэтому коэффициент нормали будет равен -3, чтобы компенсировать 1/3 из производной.

7. Таким образом, уравнение нормали к графику функции y = ³√x в точке x = 0 будет y = -3x.

8. В итоге, функция y = ³√x не дифференцируема в точке x = 0 из-за неопределенности производной. Касательная к графику в этой точке будет вертикальной прямой, а нормаль - прямой с коэффициентом -3.