Как решить: Четырехугольник АВСD вписан в окружность. ∠А : ∠В = 4:5?

1. Проведем дополнительные линии в четырехугольнике АВСD, обозначим точку пересечения как O. Так как точка O - центр окружности, то углы в окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.

2. Рассмотрим треугольники AOB и COD. Угол AOB равен углу СOD (они опираются на одну и ту же дугу), а угол OAB равен углу OCD (они вертикальные), поэтому угол BAC равен углу CDA.

3. Теперь выразим углы через отношения, данные в условии задачи. Пусть ∠A = 4x, тогда ∠B = 5x, ∠C = 7y, ∠D = 5y.

4. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, то:
   ∠A + ∠B + ∠C = 180,
   4x + 5x + 7y = 180,
   9x + 7y = 180.

5. Также сумма углов в треугольнике СDО равна 180 градусам, поэтому:
   ∠C + ∠D + ∠COD = 180,
   7y + 5y + ∠COD = 180,
   12y + ∠COD = 180,
   ∠COD = 180 - 12y.

6. Подставим выражение для ∠COD из пункта 5 в уравнение 4:
   9x +  7y = 180,
   9x + 7(180 - 12y) = 180,
   9x + 1260 - 84y = 180,
   9x = 84y - 1080.

7. Из пунктов 4 и 6 имеем систему уравнений:
   9x + 7y = 180,
   9x = 84y - 1080.

8. Решим данную систему уравнений. Выразим x через y из второго уравнения: x = 84y/9 - 1080/9, x = 28y - 120.

9. Подставим x в первое уравнение: 
   9(28y - 120) + 7y = 180,
   252y - 1080 + 7y = 180,
   259y = 1260,
   y = 1260 / 259 ≈ 4.86.

10. Теперь найдем x:
    x = 28 * 4.86 - 120 ≈ 100.08.

11. Таким образом, угол CDA (больший угол в четырехугольнике) равен 7y ≈ 34 градусам.

12. Ответ: градусная мера большего угла четырехугольника АВСD составляет около 34 градусов.