Исследовать функцию на монотонность,экстремуму,выпуклость и точки перегиба

Дана функция \(y = x^2 + \frac{2x - 3}{x}\). Давайте проведем исследование данной функции на монотонность, экстремумы, выпуклость и точки перегиба.

1. Монотонность:
Чтобы исследовать монотонность функции, найдем производную:
\(y' = 2x + \frac{-2}{x^2}\).

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:
\(2x + \frac{-2}{x^2} = 0\),
\(2x = \frac{2}{x^2}\),
\(2x^3 = 2\),
\(x^3 = 1\),
\(x = 1\).

Теперь определим знаки производной в окрестностях точки x=1, чтобы найти интервалы монотонности. Подставим, например, x=0 и x=2:
Для x=0: \(y' = 2(0) + \frac{-2}{0} = -\infty\), производная отрицательна.
Для x=2: \(y' = 2(2) + \frac{-2}{2^2} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\), производная положительна.

Итак, функция возрастает на интервале \((1, +\infty)\) и убывает на интервале \((-\infty, 1)\).

2. Экстремумы:
Чтобы найти экстремумы функции, найдем вторую производную:
\(y'' = 2 + \frac{4}{x^3}\).

Теперь найдем точку перегиба, где вторая производная равна нулю:
\(2 + \frac{4}{x^3} = 0\),
\(2 = \frac{-4}{x^3}\),
\(x^3 = -2\),
\(x = -\sqrt[3]{2}\).

3. Выпуклость:
Определим знаки второй производной в окрестностях точки x=-√2 для исследования выпуклости функции. Подставим, например, x=-1 и x=0:
Для x=-1: \(y'' = 2 + \frac{4}{(-1)^3} = 2 - 4 = -2\), вторая производная отрицательна.
Для x=0: \(y'' = 2 + \frac{4}{0^3} = +\infty\), вторая производная положительна.

Итак, функция выпукла вверх на интервалах \((-∞, -√2)\) и \((0, +∞)\), и выпукла вниз на интервале \((-√2, 0)\).

4. Точки перегиба:
Точка перегиба находится в точке x=-√2.

Таким образом, мы провели исследование функции \(y = x^2 + \frac{2x - 3}{x}\) на монотонность, экстремумы, выпуклость и точки перегиба, и определили все необходимые характеристики.