Как найти отношение BF : FC, если 2 * DE = 3 * EF (см. рис.)?

1. Введем обозначения: пусть BF = x, FC = y. Тогда можно заметить, что BC = x + y.
2. Из условия 2  DE = 3  EF следует, что DE = 3k, EF = 2k, где k - некоторая константа.
3. Так как треугольник АВС равнобедренный, то BD = DC, следовательно, BD = DC = (x + y) / 2.
4. Обозначим точку пересечения DF с AC за G. Так как треугольники BDF и GDF подобны по принципу угловой части, то BD / GD = DF / FG. В итоге получаем BD = 2DF, а GD = 3DF.
5. Поскольку AB = AC, то AG = GC, следовательно, AG = GC = (x + y) / 2.
6. Заметим, что треугольники AGE и DEF также подобны по принципу угловой части, поэтому AG / DE = GE / EF. Подставляя значения, получаем (x + y) / 2  3k = GE  2k. Отсюда GE = 3(x + y) / 4.
7. Теперь мы можем выразить EF через x, y и k. EF = 2k = 8 / 3  GE = 8 / 3  3(x + y) / 4 = 2(x + y).
8. Исходя из предыдущего пункта, мы можем записать, что GF = 3(x + y) / 2 - 2(x + y) = (3x - 2y) / 2.
9. Теперь, снова обратимся к подобным треугольникам BDF и GDF. BD / GD = DF / FG. Подставляем значения и получаем 2DF / 3DF = 3(x + y) / 2 / (3x - 2y) / 2. Упрощаем и получаем 2 / 3 = 3(x + y) / (3x - 2y). Отсюда x / y = 7 / 6, значит BF : FC = 7 : 6.
10. Итак, отношение BF к FC равно 7 : 6.