Какое наибольш. количество чисел, оканчивающихся на 9, может быть на доске?

Для начала разберемся с тем, какие числа могут быть записаны на доске. У нас есть всего два варианта: либо четное число, либо число, оканчивающееся на 9. 

Сумма всех чисел на доске равна 877, что дает нам информацию о их сумме. Теперь давайте рассмотрим несколько случаев:

а) Может ли на доске быть ровно 27 четных чисел?
Пусть на доске есть k четных чисел и (30-k) чисел, оканчивающихся на 9. 
Так как сумма всех чисел равна 877, то сумма всех четных чисел будет кратна 2, а сумма чисел, оканчивающихся на 9, будет оканчиваться на 9.
Таким образом, сумма всех четных чисел и чисел, оканчивающихся на 9, не могут быть равными 877. Значит, на доске не может быть ровно 27 четных чисел.

б) Могут ли на доске ровно 15 чисел оканчиваться на 9?
Пусть на доске есть m чисел, оканчивающихся на 9, и (30-m) четных чисел. 
Так как сумма всех чисел равна 877, то если мы возьмем 15 чисел, оканчивающихся на 9, и остальные - четные числа, то сумма чисел, оканчивающихся на 9, будет равна 15*9=135. 
Оставшиеся числа (30-15=15) будут четными, а их сумма будет кратна 2. Но 135 не является кратным 2, поэтому на доске такое соотношение чисел быть не может.

в) Какое наибольшее количество чисел, оканчивающихся на 9, может быть на доске?
Если равное количество четных чисел и чисел, оканчивающихся на 9, позволяет нам получить сумму 877, то наибольшее количество чисел, оканчивающихся на 9, будет равно половине числа чисел на доске.
Таким образом, наибольшее количество чисел, оканчивающихся на 9, будет 15.

Итак, мы рассмотрели все варианты и пришли к выводу, что на доске не может быть ровно 27 четных чисел, 15 чисел, оканчивающихся на 9, а также наибольшее количество чисел, оканчивающихся на 9, равно 15.