Как сформулировать и доказать общий признак делимости на любое нат. число?

Общий признак делимости на любое натуральное число формулируется следующим образом:
Пусть \(a\) - натуральное число, а \(b\) - натуральное число, на которое мы хотим проверить делимость числа \(a\). Тогда \(a\) делится на \(b\) тогда и только тогда, когда существует целое число \(k\), такое что \(a = kb\).

Теперь рассмотрим доказательство этого признака:
1. Предположим, что число \(a\) делится на число \(b\), то есть существует целое число \(k\), такое что \(a = kb\).
2. Теперь поделим число \(a\) на число \(b\). Получим: \(a = qb + r\), где \(q\) - неполное частное, а \(r\) - остаток от деления.
3. Так как \(a = kb\), то подставим это равенство в уравнение \(a = qb + r\): \(kb = qb + r\).
4. Преобразуем это уравнение: \(r = (k-q)b\).
5. Мы видим, что \(r\) тоже делится на \(b\), так как он равен произведению целого числа на \(b\). Это означает, что остаток от деления тоже делится на \(b\).
6. Но остаток от деления меньше делителя (в данном случае \(b\)), поэтому \(r\) может быть либо равен нулю, либо быть положительным числом меньшим \(b\).
7. Следовательно, если \(a\) делится на \(b\), то остаток от деления также делится на \(b\).
8. Обратно, если остаток от деления делится на \(b\), то исходное число \(a\) делится на \(b\), так как мы можем представить \(a = kb + r\), где \(r\) делится на \(b\).
9. Таким образом, признак делимости на любое натуральное число доказан.

Это доказательство позволяет понять, почему признак делимости работает для любых натуральных чисел и дает возможность легко проверять делимость чисел на любое другое натуральное число.