При каком значении а система уравнений имеет одно решение (см.)?

Для того чтобы система уравнений имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был ненулевым. 

Пусть дана следующая система уравнений:
\
begin{cases}
3x + ay = 5, \
2x - 4y = 7.
end{cases}
\

1. Выразим из первого уравнения $x$:
\
x = frac{5 - ay}{3}.
\

2. Подставим это выражение во второе уравнение:
\
2left(frac{5 - ay}{3}right) - 4y = 7.
\

3. Раскроем скобки и преобразуем уравнение:
\
frac{10 - 2ay}{3} - 4y = 7, \
10 - 2ay - 12y = 21, \
10 - 2ay - 12y - 21 = 0, \
-2ay + 10 - 12y - 21 = 0, \
-2ay - 12y - 11 = 0.
\

4. Приведем уравнение к виду $Ax + By = C$:
\
a(-2y) - 12y = 11, \
-2ay - 12y = 11.
\

5. Теперь составим матрицу коэффициентов:
\
begin{pmatrix}
0 & -2a \
2 & -4
end{pmatrix}.
\

6. Найдем определитель этой матрицы:
\
Delta = 0*(-4) - (-2a)*2 = 4a.
\

7. Определитель равен нулю только при $a=0$.

Итак, при $a=0$ система уравнений имеет единственное решение.