Как найти длину и ширину прямоугольника, если ширина вдвое меньше длины?

1. Обозначим ширину прямоугольника за W, а длину за L.
2. Из условия задачи мы знаем, что ширина вдвое меньше длины, то есть W = L/2.
3. После увеличения ширины на 3 см и длины на 2 см, новая площадь прямоугольника будет на 78 см2 больше исходной.
4. Исходная площадь прямоугольника равна S = WL.
5. После увеличения ширины на 3 см и длины на 2 см, новая площадь будет равна (W+3)(L+2).
6. Следовательно, условие задачи можно записать в виде уравнения:
(W+3)(L+2) = WL + 78.
7. Подставляем W = L/2 в данное уравнение:
(L/2 + 3)(L + 2) = L(L/2) + 78.
8. Упрощаем уравнение:
(3/2)L + 6 = L^2/2 + 78.
9. Умножаем обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
3L + 12 = L^2 + 156.
10. Переносим все члены уравнения в одну сторону:
L^2 - 3L - 144 = 0.
11. Полученное квадратное уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0, где a = 1, b = -3, c = -144.
12. Решаем уравнение с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 41(-144) = 9 + 576 = 585.
13. Находим корни уравнения:
L1,2 = (-b ± √D) / 2a = (3 ± √585) / 2.
14. После подстановки вычисленных значений найдем длину прямоугольника:
L1 = (3 + √585) / 2 ≈ 15.8 см,
L2 = (3 - √585) / 2 ≈ -12.8 см (отрицательное значение, которое не имеет физического значения).
15. Теперь найдем ширину прямоугольника, используя W = L/2:
W1 ≈ 7.9 см.
16. Проверяем полученные значения, подставляя их в уравнение для новой площади прямоугольника:
(W1 + 3)(L1 + 2) ≈ 86.8 см2.
17. Таким образом, длина прямоугольника составляет около 15.8 см, а ширина около 7.9 см.