Как решить: В равнобедр.трапецию (Р=200,S=1500), можно вписать окружность?

1. Дано: равнобедренная трапеция с периметром P = 200 и площадью S = 1500.
2. Обозначим трапецию как ABCD, где AB и CD - основания, а BC и AD - боковые стороны. Пусть точка пересечения диагоналей равна O.
3. Поскольку трапеция равнобедренная, то её диагонали равны друг другу и точка O является центром вписанной окружности.
4. Рассмотрим треугольники AOB и COD. Они равны, так как имеют общую сторону AO = DO, общий угол при O и общую сторону AB = CD.
5. Обозначим длину меньшего основания трапеции как a, тогда большее основание равно b = 200 - 2a (из условия периметра).
6. Площадь трапеции можно найти по формуле S = (a + b)*h/2, где h - высота. Подставив известные значения, получаем 1500 = (a + 200 - 2a)*h/2.
7. Отсюда находим высоту h = 1500*2/(200 - a).
8. Так как O - центр вписанной окружности, то расстояние от O до меньшего основания равно радиусу окружности.
9. Радиус вписанной окружности можно найти, используя формулу для площади треугольника через радиус вписанной окружности: S = rp, где r - радиус, p - полупериметр треугольника.
10. Подставляем известные значения: 1500 = r*(a + b + 2*r).
11. Зная, что b = 200 - 2a и подставив выражение для h, можно выразить r через a: r = 1500/(200 - a + 3000/(200 - a)).
12. Находим производную выражения для радиуса по a и приравниваем её к нулю, чтобы найти значение a, соответствующее минимальному радиусу.
13. Решаем полученное уравнение и находим значение a. Подставляем его обратно в формулу для радиуса, чтобы найти минимальный радиус.
14. Таким образом, найдем расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания трапеции.