Есть ли общая формула для аргумента комплексного числа, работающая всегда?

Для начала, давайте разберемся, что такое аргумент комплексного числа и почему его нахождение может быть не всегда тривиальной задачей. 
Аргумент комплексного числа z = a + bi, где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица, это угол между положительным направлением вещественной оси и отрезком, соединяющим начало координат с точкой, представляющей это комплексное число на комплексной плоскости.
Формула для определения аргумента комплексного числа, как вы правильно упомянули, обычно записывается как φ = arctg(b/a). Однако, эта формула может быть проблематичной и привести к ошибкам, как в случае с числом -1 - i.

Почему же эта формула не всегда работает правильно? Дело в том, что функция арктангенс имеет периодичность π, что может привести к неправильному определению аргумента в зависимости от конкретных значений a и b. В случае числа -1 - i, наивное применение формулы φ = arctg(b/a) дает нам арктангенс (-1)/(-1) = 45°, что неверно. Действительно, аргумент этого числа составляет -135° или 3π/4 радиан. Таким образом, видно, что одна простая формула не всегда позволяет правильно определить аргумент комплексного числа.

Существует ли универсальная формула для определения аргумента комплексного числа через его действительную и мнимую части? К сожалению, такой универсальной формулы нет. Это можно показать при помощи примеров, подобных числу -1 - i, которые нарушают простую формулу φ = arctg(b/a). 

Однако, это не означает, что мы не можем определить аргумент комплексного числа вообще. Существуют другие способы нахождения аргумента, такие как использование тригонометрических свойств комплексных чисел или применение геометрического подхода на комплексной плоскости. Например, мы можем представить комплексное число в тригонометрической форме z = r(cosφ + i sinφ), где r - модуль числа, а φ - аргумент. 

Таким образом, хотя универсальной формулы для определения аргумента комплексного числа через его действительную и мнимую части нет, существуют альтернативные методы, которые позволяют нам корректно определить аргумент в любой ситуации. Важно помнить, что математика - наука о логике и точности, и в ней всегда есть способы разрешить сложные или спорные вопросы.