Чему равна S параллелограмма, если BC=19, расстояние от K до AB 10 (см)?

1. Для начала обозначим площадь параллелограмма как \( S \).
2. Известно, что биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K.
3. Так как биссектрисы параллелограмма делят углы на равные части, то угол AKB = угол BKC.
4. Точка K является центром вписанной окружности треугольника ABC (так как биссектриса угла является радиусом вписанной окружности).
5. Расстояние от точки K до стороны AB можно назвать h.
6. Площадь треугольника ABC равна \( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h \).
7. Так как биссектрисы в параллелограмме делят стороны на отрезки в отношении, равном отношению длин другого диагонального отрезка, то AK/KD = BC/CD и BK/KC = AD/DC
8. Найдем отношение AK/KD: AK/KD = BC/CD, где AK = h, KD = h. Тогда h/h = BC/CD => 1 = 19/CD => CD = 19.
9. Теперь найдем отношение BK/KC: BK/KC = AD/DC, где BK = h, KC = 10. Тогда h/10 = AD/19 => AD = 19h/10.
10. Из того, что AD = 19h/10, CD = 19 и BC = 19, можем сделать вывод, что AD = CD = BC = 19 у параллелограмма.
11. Получаем, что треугольник ABC является равнобедренным с боковыми сторонами 19, 19 и основанием 19. Это треугольник равносторонний.
12. Площадь треугольника ABC можно найти с помощью формулы \( S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \), где a - длина стороны равностороннего треугольника.
13. Подставляя значение стороны \( a = 19 \) в формулу, получаем \( S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 19^2 \).
14. Решив данное уравнение, получаем \( S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 361 \).
15. Итак, площадь треугольника ABC равна \( S_{\triangle ABC} = \frac{361\sqrt{3}}{4} \).
16. Так как площадь параллелограмма равна сумме площадей двух равнобедренных треугольников с основанием 19 и высотой 10, то \( S = 2 \cdot  S_{\triangle ABC} \).
17. Подставляем найденное значение площади треугольника и находим окончательный ответ: \( S = 2 \cdot  \frac{361\sqrt{3}}{4} = \frac{722\sqrt{3}}{4} \).
18. Итак, площадь параллелограмма равна \( \frac{722\sqrt{3}}{4} \).