Как решить интеграл int[(x^5)/(1 + x^7)]dx?

Для решения данного интеграла, мы можем воспользоваться методом замены переменной. Для начала, давайте введем новую переменную, которая поможет нам упростить интеграл. Пусть u = 1 + x^7. Тогда, дифференциал новой переменной будет равен du = 7x^6 dx.

Дальше мы можем выразить x^6 dx через du: x^6 dx = (1/7) du. Теперь наш интеграл примет вид:

∫ (x^5) / (1 + x^7) dx = (1/7) ∫ (x^5) / u du

Теперь мы видим, что в исходном интеграле присутствует только одна переменная - u. Поэтому мы можем решить его при помощи простой замены переменных.

Обозначим новую функцию v = x^6. Тогда, производная новой функции по u будет равна dv/du = 6x^5. Мы можем выразить x^5 dx через dv:

x^5 dx = (1/6) dv

Подставим это в наш интеграл:

(1/7) ∫ (x^5) / u du = (1/7) ∫ (1/6) dv

Теперь мы можем интегрировать простую функцию:

(1/7) ∫ (1/6) dv = (1/42) v + C

Восстановим исходную переменную x:

(1/42) v + C = (1/42) (x^6) + C

Таким образом, решением данного интеграла будет функция F(x) = (1/42) (x^6) + C, где C - произвольная постоянная.