Задача по геометрии. Четырехугольник. Как доказать?

Чтобы доказать, что отрезок MN пересекает диагональ BD в ее середине, можно воспользоваться свойствами подобных треугольников.

Пусть точка P - середина отрезка BD. Нам нужно доказать, что отрезок MN проходит через точку P.

Возьмем треугольники ABM и CBN. Поскольку площадь массивного ABM равна площади массивного CBN, и отрезки AN и CM делят эти площади пополам, то отношение площадей треугольников ABM и CBN будет равно 1:1.

Поэтому треугольники ABM и CBN будут подобными, по правилу SSS (сторона-сторона-сторона), так как у них соответствующие стороны пропорциональны. 

Из подобия треугольников ABM и CBN следует, что соответствующие углы будут равны. Угол B напротив стороны AB, и угол N напротив стороны NC являются соответственно двумя углами треугольника ABM и CBN. Это означает, что у нас есть две пары равных углов: угол B равен углу N, и угол M равен углу C.

Теперь рассмотрим треугольник MNP. Так как угол B равен углу N, и угол M равен углу C, то треугольник MNP по двум углам будет равен треугольнику BCD. 

Таким образом, у нас получается, что у треугольников MNP и BCD две пары равных углов. Следовательно, по признаку подобия у них пропорциональны соответствующие стороны, и отрезок MN пересекает диагональ BD в ее середине в точке P.