Как лучше, проще решать неопределённый интеграл от √(1 + x²)? Почему так?

Для нахождения неопределенного интеграла от функции √(1 + x²) существует несколько подходов. Один из самых простых и эффективных методов заключается в использовании тригонометрической замены.

При замене переменной x = tan(t) мы можем привести данный интеграл к более простому виду. Заметим, что dx = sec²(t) dt и 1 + x² = 1 + tan²(t) = sec²(t). Тогда наш интеграл примет вид:
∫√(1 + x²) dx = ∫√(sec²(t)) sec²(t) dt = ∫sec³(t) dt.

Интеграл от sec³(t) может быть решен методом интегрирования по частям или с использованием формулы интеграла от sec(x) (тангенциальной замены). Оба метода сводят интеграл к более простым функциям тригонометрии.

Используя формулу интеграла от sec(x), мы получим:
∫sec³(t) dt = (1/2) * (sec(t) * tan(t) + ln|sec(t) + tan(t)|) + C,

где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, мы можем решить интеграл ∫√(1 + x²) dx путем использования тригонометрической замены и тригонометрических свойств. Этот метод является предпочтительным, поскольку он приводит к простой формуле, которую легко вычислить.