Как доказать формулы из тригонометрии?

Для доказательства указанных формул из тригонометрии, мы можем воспользоваться геометрическим подходом с использованием круговой тригонометрии. Рассмотрим 

1. Построение:
   - Нарисуем окружность с центром в точке O.
   - Отметим точки A и B на окружности так, чтобы угол AOB равнялся углу a, а угол BOC равнялся углу b.
   - Обозначим точку C так, чтобы образовался угол AOC.

2. Треугольники и прямоугольные треугольники:
   - В соответствии с определением синуса и косинуса, проведем перпендикуляры к горизонтальной оси из точек A и B. Эти перпендикуляры будут пересекаться с осью в точке D и E соответственно. В результате у нас будут треугольники AOD и BOE, которые являются прямоугольными.

3. Определение синусов и косинусов:
   - Так как угол AOB=a, то по определению синуса и косинуса:
     - sin(AOB) = OD / OA
     - cos(AOB) = AD / OA
   - Аналогично, для угла BOC=b:
     - sin(BOC) = OE / OB
     - cos(BOC) = BE / OB

4. Обозначение и вывод новой формулы:
   - Угол AOC можно выразить через углы AOB и BOC:
     - AOC = AOB + BOC = a + b.
   - Чтобы найти значение sin(AOC), воспользуемся геометрией. Мы можем выразить точки, используя координаты:
     - Точка A имеет координаты (Rcos(a), Rsin(a)),
     - Точка B имеет координаты (Rcos(b), Rsin(b)),
     - Точка C будет находиться также на окружности, и её координаты можно выразить через сумму углов.

5. Координатный вывод:
   - Координаты точки C можно записать как:
     - C_x = Rcos(a + b) = R(cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)),
     - C_y = Rsin(a + b) = R(sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)).
   - Отсюда следует, что:
     - sin(AOC) = sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b).

6. Другие формулы:
   - Повторив аналогичные шаги, мы можем получить и другие формулы.
     - Например, для sin(BOC):
       - sin(BOC) = sin(AOC)cos(AOB) - cos(AOC)sin(AOB).
     - Для cos(AOC):
       - cos(AOC) = cos(AOB)cos(BOC) - sin(AOB)sin(BOC.
     - И, наконец, для cos(BOC):
       - cos(BOC) = cos(AOC)cos(AOB) + sin(AOC)sin(AOB.

7. Заключение:
   - Таким образом, используя геометрию окружности и свойства прямоугольных треугольников, мы можем доказать данные формулы без привлечения формул тригонометрии. Эти выводы помогают понять гибкость взаимосвязей между углами и их значение в различных применения, что делает изучение тригонометрии еще более увлекательным.

Этот подход, основанный на геометрической интерпретации углов и свойств окружности, дает нам возможность доказать формулы и углубить наше понимание тригонометрии, используя визуальные средства и ясные шаги.